Thursday, November 1, 2007

Η γεωμετρία Lobatschewsky!

Είναι πλέον γνωστό από τα μαθητικά μας χρόνια, ότι στους διδιάστατους χώρους που επικρατεί η Ευκλείδια γεωμετρία, αν μία ευθεία είναι παράλληλη προς μία άλλη δοσμένη ευθεία, κάθε σημείο της πρώτης θα απέχει από τη δεύτερη σταθερή απόσταση. Η ιδιότητα όμως αυτή δεν ισχύει στους διδιάστατους χώρους που περιγράφονται από τη γεωμετρία του Lobatschewsky. Στους χώρους αυτούς δύο παράλληλες ευθείες δεν απέχουν σταθερή απόσταση μεταξύ τους, αλλά συγκλίνουν ασυμπτωτικά προς τη μία κατεύθυνσή τους, ενώ προς την άλλη κατεύθυνση η απόσταση μεταξύ των παραλλήλων ευθειών τείνει στο άπειρο. Γενικότερα, αν έχουμε ένα ζεύγος μη παράλληλων ευθειών, αυτές θα αποκλίνουν είτε από τη μία πλευρά ή και από τις δύο. Ολοκληρώνοντας, θα μπορούσαμε να πούμε ότι δύο ευθείες στον δισδιάστατο χώρο της γεωμετρίας Lobatschewsky ή τέμνονται, ή είναι παράλληλες, ή έχουν μία κοινή κάθετη και αποκλίνουν και από τις δύο πλευρές. Ουσιαστικά, η μετάβαση από την Ευκλείδια γεωμετρία στην υπερβολική γεωμετρία του Lobatschewsky επιτυγχάνεται αντικαθιστώντας το αξίωμα της παραλληλίας (αίτημα του Ευκλείδη) με το ακόλουθο αξίωμα: "από σημείο που κείται εκτός ευθείας, μπορούν να αχθούν άπειρες ευθείες που δεν θα την τέμνουν". Παράλληλες καλούνται οι δύο ακραίες των απείρων ευθειών, οι οποίες δεν τέμνουν τη δοθείσα ευθεία. Γι'αυτόν τον λόγο, το αξίωμα διατυπώνεται και ως εξής: "Από σημείο που κείται εκτός ευθείας, μπορούν να αχθούν τουλάχιστον δύο ευθείαι μη τέμνουσαι αυτήν".